The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, __(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(X1, X2)
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n¹):
The rewrite sequence
isList(n____(V143772_0, V243773_0)) →⁺ U11(U41(isList(V143772_0), activate(V243773_0)))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [V143772_0 / n____(V143772_0, V243773_0)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, __(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(X1, X2)
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, __(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(X1, X2)
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
__, isList, isNeList, isPal, isNePal

They will be analysed ascendingly in the following order:
isList = isNeList
isPal = isNePal

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, __(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(X1, X2)
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
__, isList, isNeList, isPal, isNePal

They will be analysed ascendingly in the following order:
isList = isNeList
isPal = isNePal

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol __.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, __(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(X1, X2)
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
isNePal, isList, isNeList, isPal

They will be analysed ascendingly in the following order:
isList = isNeList
isPal = isNePal

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNePal.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, __(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(X1, X2)
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
isPal, isList, isNeList

They will be analysed ascendingly in the following order:
isList = isNeList
isPal = isNePal

(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isPal.

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, __(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(X1, X2)
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
isNeList, isList

They will be analysed ascendingly in the following order:
isList = isNeList

(15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
isNeList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n707_0)) → *4_0, rt ∈ Ω(n707₀)

Induction Base:
isNeList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0))

Induction Step:
isNeList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(n707_0, 1))) →_R^Ω(1)
U51(isNeList(activate(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n707_0))), activate(n__nil)) →_R^Ω(1)
U51(isNeList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n707_0)), activate(n__nil)) →_IH
U51(*4_0, activate(n__nil)) →_R^Ω(1)
U51(*4_0, n__nil)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(16) Complex Obligation (BEST)

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, __(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(X1, X2)
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Lemmas:
isNeList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n707_0)) → *4_0, rt ∈ Ω(n707₀)

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
isList

They will be analysed ascendingly in the following order:
isList = isNeList

(18) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
isList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n17483_0)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n17483₀)

Induction Base:
isList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0)) →_R^Ω(1)
tt

Induction Step:
isList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(n17483_0, 1))) →_R^Ω(1)
U21(isList(activate(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n17483_0))), activate(n__nil)) →_R^Ω(1)
U21(isList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n17483_0)), activate(n__nil)) →_IH
U21(tt, activate(n__nil)) →_R^Ω(1)
U21(tt, n__nil) →_R^Ω(1)
U22(isList(activate(n__nil))) →_R^Ω(1)
U22(isList(n__nil)) →_R^Ω(1)
U22(tt) →_R^Ω(1)
tt

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(19) Complex Obligation (BEST)

(20) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, __(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(X1, X2)
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Lemmas:
isNeList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n707_0)) → *4_0, rt ∈ Ω(n707₀)
isList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n17483_0)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n17483₀)

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
isNeList

They will be analysed ascendingly in the following order:
isList = isNeList

(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNeList.

(22) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, __(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(X1, X2)
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Lemmas:
isNeList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n707_0)) → *4_0, rt ∈ Ω(n707₀)
isList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n17483_0)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n17483₀)

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

No more defined symbols left to analyse.

(23) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
isNeList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n707_0)) → *4_0, rt ∈ Ω(n707₀)

(24) BOUNDS(n^1, INF)

(25) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, __(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(X1, X2)
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Lemmas:
isNeList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n707_0)) → *4_0, rt ∈ Ω(n707₀)
isList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n17483_0)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n17483₀)

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

No more defined symbols left to analyse.

(26) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
isNeList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n707_0)) → *4_0, rt ∈ Ω(n707₀)

(27) BOUNDS(n^1, INF)

(28) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, __(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(X1, X2)
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Lemmas:
isNeList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n707_0)) → *4_0, rt ∈ Ω(n707₀)

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

No more defined symbols left to analyse.

(29) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
isNeList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n707_0)) → *4_0, rt ∈ Ω(n707₀)

(30) BOUNDS(n^1, INF)